一、概率与随机事件

随机试验（Experiment）

定义：对事物的某一特征的观察。

其典型的例子有：

• **E₁**：抛一枚硬币，观察正面 H（Heads）、反面 T（Tails）出现的情况。
• **E₂**：抛一颗骰子，观察出现的点数。
• **E₃**：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。
• **E₄**：观察某一电子元件的寿命。
• **E₅**：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。

特点：

• 可以在相同的条件下重复进行（可重复性）。
• 进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现（不确定性）。
• 每次试验的可能结果不止一个，并且能实现明确试验的所有可能结果（不唯一性）。

具备以上三个特点的试验为随机试验。

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样本空间（Space）：

定义：将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间，记为 S。
样本空间的元素，即 E 的每个结果，称为样本点。

例如上面的例子的样本空间可表示为：

• S₁: {H, T}
• S₂: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• S₃: {0, 1, 2, 3……}
• S₄: {t | t >= 0}
• S₅: {(x, y) | T₀ <= x, y >= T₁}

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随机事件：

定义：称试验 E 的 样本空间 S 的子集 为 E 的 随机事件，记作 A, B, C 等等。
我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现。

例如：S2 中：

• 事件 **A={2, 4, 6}**表示“出现偶数点”。
• 事件 **B={1, 2, 3, 4}**表示“出现的点数不超过 4”。

基本事件

由一个样本点组成的单点集。

必然事件

样本空间 S 本身。

不可能事件

空集 ∅

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随机事件间的关系

1. 包含关系：A⊂B
   如果 A 发生必导致 B 发生，则 A⊂B

2. 相等关系：A=B -> A⊂B，且 B⊂A

3. 和（并）关系：A∪B
   事件 A∪B 发生当且仅当 A，B 至少发生一个

4. 交（积）关系：A∩B = AB
   事件 A∩B 发生表示 AB 同时发生

5. 互斥关系：A∩B = ∅
   表示 A，B 不可能同时发生

6. 对立关系（逆事件）
   A∩B = ∅
   A∪B = S
   表示 A，B 的交集为空集，不可能发生，并且 A 发生 B 一定不会发生，B 发生则 A 一定不会发生。

7. 差事件：A-B
   A-B = A-AB（A 减 AB 的交集）

例如：在上述例子 4 中，电子元件的寿命（小时）事件

• 事件：A={t | t < 1000}，表示“产品是次品”
• 事件：B={t | t >= 1000}，表示“产品是合格品”
• 事件：C={t | t >= 1500}，表示“产品是一级品”

则：
A 与 B 是互为对立事件。
A 与 C 是互不相容事件。

B-C 表示“产品是合格品但不是一级品”。
B∩C 表示“产品既是合格品又是一级品，其实就是一级品”。
B∪C 表示“产品是合格品或一级品”。